Cálculo do logaritmo de um número

O método dos logaritmos foi proposto em 1614 por John Napier, em um livro intitulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Descrição da maravilhosa regra dos logaritmos)
(Wikpédia, acesso em 21-11-2022).

O MÉTODO DE NAPIER

O método de Napier baseia-se na propriedade de multiplicação de potência de mesma base. Nessa propriedade, para realizar a multiplicação das potências de mesma base, repete-se a base e somam-se os expoentes:

a^m.aⁿ = a^m+n

Observando a figura abaixo, temos a potência de 3 (segunda linha), elevado aos expoentes de 1 a 10 (primeira linha).

Com a tabela pode-se fazer produtos trabalhosos, ou seja, com números grandes. Em vez de calcular a potência de 3 elevado a 9, multiplica-se a potência de 3 elevado a 3, com a potência de 3 elevado a 6:

3³.3⁶ = 3³⁺⁶ = 3⁹ ∴ 27 x 729 = 19683

DEFINIÇÃO DE LOGARITMOS

O logaritmo de um número é o expoente a que outro número, a base, deve ser elevada.

log_bx = y ⇔ x = b^y

Na expressão acima, log é o símbolo matemático que representa o logaritmo de um número. x é o número que se pretende calcular o logaritmo; b é a base e y é o logaritmo do número x. Quando temos a representação pelo símbolo log, considera-se a base igual a 10. Qualquer outra base deve ser escrita explicitamente. Exemplos:

log 100 = 2 ⇔ 10 é a base, logo: 10² = 100

log ₂8 = 3 ⇔ 2 é a base, logo: 2³ = 8

log ₅125 = 3 ⇔ 5 é a base, logo: 5³ = 125

Formalizando:

Dados dois números reais positivos a e b, com a ≠ 1, se b = a^c, então o expoente c chama-se logaritmo de b na base a. Podemos representar esta definição em símbolos: log_ab = c ⇔ a^c = b, com a e b positivos e a ≠ 1;

LOGARITMOS NATURAIS

Logaritmo natural ou neperiano, é o logaritmo de base e, onde e é o número de Euler, e equivale a aproximadamente 2,71828. Matematicamente representa-se o logaritmo natural de um número por ln x (lê-se: logaritmo neperiano de x).
(Wikpédia, acesso em 21-11-2022).

log_ex = y ⇔ x = e^y ⇔ ln x = y